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摘要
本文介绍如何使用降阶隆伯格观测器（ROLO）估算永磁同步电机（PMSM）的转子磁链位置。首先介绍特征值与稳定性的关系；在此基础上，引入状态反馈控制的理念；接着介绍如何使用该理念来设计隆伯格观测器；然后，以PMSM为例，推导ROLO的设计过程，给出设计结果；最后，介绍Microchip的相关电机控制方案（评估套件、例程和文档等）。
关键词
降阶隆伯格观测器，永磁同步电机，反电动势估算，MPLAB® Harmony 3
概述
永磁同步电机（PMSM）的磁场定向控制（FOC）在近十几年成为了主流的电机控制方法。其中，无位置传感器FOC由于其低成本和高可靠性，获得了越来越多的应用和关注。由于没有位置传感器，所以必须估算转子磁链位置。由于在旋转过程中，转子磁链生成反电动势（BEMF），并且BEMF超前转子磁链π/2弧度，所以可以利用对BEMF进行观测，进而估算转子磁链。降阶隆伯格观测器（ROLO）是一种常用的BEMF观测手段。
一方面，工程师可能不具备设计观测器所需的背景知识；另一方面，产品开发项目必须尽快且高质量地完成。尽管可以找到背景知识的相关教材，但由于其缺少针对性，所以工程师不得不花费大量时间进行学习。该矛盾经常成为制约产品开发进度和质量的瓶颈。针对此困境，ROLO由于其原理简单，成为了能短时间掌握的优选方案。
本文针对PMSM控制所需，筛选出最少量的必需知识，按照逻辑顺序阐述利用ROLO观测BEMF的原理。此外，还介绍了Microchip的相关电机控制方案。读者可以借此快速掌握原理，并且上手实践和熟悉。
特征值与稳定性
常微分方程（ODE）是时间确定性系统的一种抽象模型。PMSM可以看作是一个线性时间确定性系统，因此可以用线性常微分方程来建模。
考虑以下的一般线性ODE：
其中，
是随时间t变化的状态向量。
是0时刻的初始状态。
是一个已知方阵。我们关心的是，
是否趋向于
？
是随时间t变化的状态向量。是0时刻的初始状态。是一个已知方阵。我们关心的是，是否趋向于？假设A拥有n个相互独立的特征向量
，对应的特征值是
。那么可以把A分解为：
，对应的特征值是。那么可以把A分解为：
式 2其中，
。
。由于
是空间
的一组基，所以任意
都可以表示为的线性组合：
是空间的一组基，所以任意都可以表示为的线性组合：
把式3代入式1，得到：
于是：
从式 5可以看出，
当且仅当A的所有特征值都位于复平面的左半面。
当且仅当A的所有特征值都位于复平面的左半面。状态反馈控制
假设式 1是某个物理系统的ODE模型。显然，矩阵A是由物理系统客观决定的。因此，系统状态
不一定→
。对该系统，我们可以施加一个输入向量
：
不一定→。对该系统，我们可以施加一个输入向量：
其中，B是由物理系统决定的已知矩阵。能否通过选择合适的
使得
一定→
？答案是肯定的。一个简单的选择是状态反馈比例控制：
使得一定→？答案是肯定的。一个简单的选择是状态反馈比例控制：
其中，K是比例增益。于是，式 6变为：
只要选择合适的K，使A-BK的所有特征值都位于复平面的左半面，就可以确保
。
。隆伯格观测器
考虑以下系统：
其中，C是由物理系统决定的已知矩阵，
是输出向量，并且
可以直接测得，不能直接测得。能否利用已知信息A,B,C,,来估算？
是输出向量，并且可以直接测得，不能直接测得。能否利用已知信息A,B,C,,来估算？我们首先尝试做开环仿真估算：
其中，
是的估算值。把式 9与式 10相减，可以检验估算效果：
是的估算值。把式 9与式 10相减，可以检验估算效果：
其中，
=
是估算误差。显然，不一定→。但注意到式 11与式 1的形式完全相同，因此应当考虑使用类似于式 7那样的状态反馈控制来使→。
=是估算误差。显然，不一定→。但注意到式 11与式 1的形式完全相同，因此应当考虑使用类似于式 7那样的状态反馈控制来使→。由
可得：
。其中，
是的估算值。
和都是已知的，于是
，即系统式 11的状态反馈信息，也是已知的。我们只需要对系统式 11施加状态反馈控制，使系统模型变为：
可得：。其中，是的估算值。和都是已知的，于是，即系统式 11的状态反馈信息，也是已知的。我们只需要对系统式 11施加状态反馈控制，使系统模型变为：
并且选择合适的矩阵L，使A-LC的所有特征值都位于复平面的左半面，就可以确保→。
→。为了实现式 12，必须设计如下的观测器：
式 13由斯坦福大学的大卫.隆伯格教授提出，因此命名为隆伯格观测器。
观测PMSM的BEMF
在静止两相坐标系（α-β坐标系）中，表贴式PMSM的电压方程为：
其中，
是定子线圈相电阻、相电感；u、i、e是在α轴或β轴上的电压、电流、反电动势。反电动势是由转子磁链旋转而生成的，因而受制于以下ODE：
是定子线圈相电阻、相电感；u、i、e是在α轴或β轴上的电压、电流、反电动势。反电动势是由转子磁链旋转而生成的，因而受制于以下ODE：
其中，ω是电气转速。
把式 14和式 15写成矩阵形式，即表贴式PMSM在α-β坐标系中的ODE模型：
其中，
是系统状态向量；
是输入向量；
。
是系统状态向量；是输入向量；。由于i ⃑可以通过传感器采集到，因此可以把它看作已知量，而不是系统状态。基于这种观点，系统的阶数由原来的4降低为2。相应地，式 16的形式变为：
应当注意到，式 17与式 9的形式一致。读者能轻易地看出他们之间的对应关系。于是，只要根据式 13就可以直接设计出针对e ⃑的隆伯格观测器。对此，本文不做展开，并鼓励读者亲自进行推导。需要指出的是，这样的观测器被称为降阶隆伯格观测器。
Microchip的ROLO方案
Microchip的基于ROLO的PMSM无传感器控制方案提供例程、评估套件、开发工具和帮助文档。
例程位于MPLAB® Harmony 3的motor control模块中，是一个运行在Cortex®-M0+ MCU（SAMC21）之上的MPLAB X工程：pmsm_foc_rolo_sam_c21。
该演示方案可以运行于MCLV2低压电机控制评估套件或MCHV3高压电机控制评估套件。两款评估套件均可在Microchip官网搜索并订购。
该例程利用图形化配置工具MPLAB Harmony配置器（MHC）生成。使用MPLAB X IDE打开该工程，并打开MHC，就可以看到CPU和所需片上周边（PWM模块和ADC等）的配置情况，如图 1 所示。
相应的帮助文档也位于MPLAB Harmony 3的motor control模块中。其中介绍了如何搭建硬件平台、编译和下载工程、算法原理框图、软件流程图、软件配置方法等，如图 2、图 3、 图 4和图 5 所示。
< 图 1. 例程的MHC配置 >
< 图 2. 电机控制算法框图 >
< 图 3. 软件流程图 >
< 图 4. 软件配置方法：电机参数宏定义列表 >
< 图 5. 低压电机控制硬件连接 >
总结
本文从PMSM的ODE模型开始，逐步介绍了基于ROLO的BEMF观测器的设计理念和方法；并且介绍了Microchip的相关方案。读者可以利用这些资源快速掌握原理并上手实践、熟悉PMSM的无传感器控制方法，以加快项目开发进度和提升产品性能。
八、 参考文献
1. AN2590, Sensorless FOC for PMSM Using Reduced Order Luenberger Observer, Microchip Technology. （https://ww1.microchip.com/downloads/en/AppNotes/00002590B.pdf）
2. MPLAB Harmony 3: motor control module.
3. Microchip工程师社区知识库：《Harmony 3电机控制资源初探》（http://www.microchip.com.cn/newcommunity//Uploads/H3_Chinese_guides/guide-17.pdf）
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